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关于图论中完全匹配的一道题目

发布时间:2019-06-10 13:19 来源:未知 编辑:admin

  一道图论题目:设R是A到B的一个关系且A=B=n,证明:如果在A,B和R相对应的网络中,每一个节点的度数至少是n/2,那么对于A,B和R,存在一个完全匹配。提示是利用哈密尔顿回路回路存在...

  一道图论题目:设R是A到B的一个关系且A=B=n,证明:如果在A,B和R相对应的网络中,每一个节点的度数至少是n/2,那么对于A,B和R,存在一个完全匹配。提示是利用哈密尔顿回路回路存在性的一个定理:如果n个顶点的连通图每个顶点的度数至少为n/2,那么该图必定存在一条哈密尔顿回路。

  展开全部我将所述之图理解为一个二部图,记为G,部集为A和B,关系R则是边集。由于图中存在一条Hamilton回路,记此回路为H,则H为G的生成子图。在H中,因点集A中的点之间没有边相连,且每个点的度数为2 (对于B也一样),故H是一个2正则的二部图。由于“任意 r 正则二部图(r≥1)均有一个完美匹配。”故H含有一个完美匹配,因H是G的生成子图,当然H的完美匹配亦是G的完美匹配,从而完成证明。

  注:定理“任意 r 正则二部图(r≥1)均有一个完美匹配.”之证明详见Gary Chartrand等著的《图论导引》第八章“匹配与分解”。

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